calculer le groupe fondamental

Torsion du bras - le groupe fondamental de SO(3)

Par Mathoman, vendredi 7 novembre 2008 à 15:25 - Maths pour matheux - Tags

Dernièrement nous avons parlé de groupes cycliques et du groupe de rotation SO(3). Aujourd'hui nous allons revisiter ces deux notions pour explorer une jolie propriété en mathématiques.

Voici une petite vidéo où je tourne mon bol de café au lait. Plus précisément je lui fais deux tours complets. On remarquera qu'après le premier tour mon bras est tourdu, mais après le deuxième tour mon bras revient à sa comfortable position du début.

MathOMan tord son bras... et le remet à sa place!

Bizarre... La tasse de café retrouve sa position initiale après le premier tour. Ca semble évident car une rotation par 360° revient à faire une rotation de 0°. Mon bras, en revanche, a besoin de deux tours, c'est-à-dire 720°, pour retrouver sa position initiale.

Le secret de tout ça réside dans le groupe fondamental de SO(3). Le groupe fondamental est constitué des lacets (chemins fermés) — plus précisément des classes d'homotopie de lacets, deux lacets étant dit homotopes si on peut déformer l'un dans l'autre de manière continue.

Le problème est donc de savoir si l'on peut passer continûment d'un lacet dans l'espace des rotations à un autre. C'est une question de topologie non-triviale. Il se trouve que, contrairement a ce que nous dit notre intuition, une rotation de 360° n'est pas équivalente à pas de rotation! C'est profondement incompréhensible à premier abord. Il faut une rotation de 720°.

Explication (par handwaving en prose)

Pour ce qui suit il faut avoir compris que SO(3) peut être vu comme la boule d'unité (de l'espace ambiant à trois dimensions) après identification des antipodes sur la sphère — voir le billet sur le groupe de rotation SO(3) pour les détails.

Choisissons deux antipodes P et Q sur la sphère et notons g le chemin qui va de P à Q en ligne droite. Or g est un lacet dans SO(3) à cause de l'identification des antipodes. Plus précisément, il s'agit des rotations atour de l'axe fixe (PQ) commençant avec l'angle -180° et finissant avec l'angle 180°. Ce lacet g représente donc précisément un tour de la tasse de café.
Soit h un demi-cercle sur la sphère, allant de P à Q. Il est clair qu'on peut déformer g continûment en h. En termes d'homotopie on a alors g=h.
Considérons le demi-cercle h' allant de Q à P qui complète h en un cercle entier. Maintenant vient le point crucial: le cercle entier h+h' est homotope au lacet constant, car on peut le "rétrécir en un point''.
D'autre part il est clair que, par identification des antipodes, h et h' sont deux lacets identiques dans SO(3). Nous obtenons ainsi 2g=2h=h+h'=0 dans le groupe fondamentale de SO(3).

Ainsi nous avons montré que 2g=0, c'est-à-dire un tour de 720° du bol de café se déforme continûment au tour nul, ce qui permet à mon bras de se remettre en place.

Il reste à voir qu'on n'a pas déjà g=0, autrement dit qu'il est impossible d'avoir le bras en place déjà après le premier tour. Une manière simple de comprendre que g , ou encore h, n'est pas homotope au lacet constant est de voir h comme un lacet dans l'espace projectif de dimension 3. Il correspond alors à la rotation d'une droite dans l'espace de dimension 4, d'angle 180° autour d'un axe perpendiculaire. La droite revient sur elle-même, mais on ne peut pas rétrécir ce mouvement.

Voilà, si on formalise ces raisonnements un peu plus, on démontre que le groupe fondamental de SO(3) (ou plus généralement de l'espace projectif de dimension au moins 3) est le groupe cyclique à deux éléments Z/2Z.

Les physiciens adorent ce genre de propriétés mathématiques et utilisent même le groupe de Spin, revêtement universel de SO(3). Mais pour expliquer ces applications en physique théorique, il faudra un autre bloggeur — peut-être un PhysOMan?

On m'a recommandé à ce sujet le livre Spinors & Space-Time de Roger Penrose et Wolfgang Rindler mais mes maigres pré-recquis en physique m'ont découragé de l'acquérir ;-)

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Groupes cycliques (vulgarisation)

Par Mathoman - Tags

Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)

Calculer la date ou l'heure -- activité maths 6e

Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

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Une statistique sur les acquis d'élèves en terminale

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En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

Calculer un prix

Faux calcul de prix (erroné)

Calculer un prix (faux)

Calcul de prix (faux)

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

Calculer un pourcentage

Faux calcul de pourcentage

calculer un pourcentage (faux)

Calcul d'un pourcentage (faux)

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

déterminer l'équation d'une droite

trouver une équation de droite

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

Résoudre correctement une équation de premier degré

Résoudre une équation de premier degré (faux)

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

$Calculer avec une fraction double correctement$

$Comment ne pas calculer avec une fraction double$

$Calculer avec une fraction double (faux)$

Autres exemples

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

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Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions

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Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions

$\mathbb{B}^1$ est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord $\mathbb{S}^0=\{-1,1\}$ est constitué des deux extrémités. $\mathbb{B}^2$ est un disque et son bord $\mathbb{S}^1$ est un cercle. $\mathbb{B}^3$ est une ``vraie'' boule et son bord $\mathbb{S}^2$ est une ``vraie'' sphère.
$\;$

Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.

Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.

Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace . Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:
- Si n=1 alors on est dans le plan euclidien $\mathbb{R}^2$ . Le demi-cercle supérieur $\mathbb{S}^1_+$ (en rouge) se projette bijectivement sur le segment $\mathbb{B}^1$ (en bleu).
  $\;$
- Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{S}^2$ est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord $\mathbb{S}^2_+$ (en rouge) se projette bijectivement sur le disque $\mathbb{B}^2$ (en bleu).
  $\;$

Chaque droite $D\in\mathbb{P}^n$ coupe la sphère $\mathbb{S}^n$ en deux antipodes: $~\frac{x}{||x||}~$ et $~\frac{-x}{||x||}~$ où $x$ est arbitraire dans $D\backslash\{0\}$ .
Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:

De cette observation on déduit que l'application $f\;: \;\;\;\mathbb{S}^n_+\;\longrightarrow\;\mathbb{P}^n\:,\;\;\;x\;\mapsto~\mathbb{R}x\,,$

est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément

$\forall x,y\in\mathbb{S}^n_+\,:\;\big[\,x\neq y\,\text{ et }\,f(x)=f(y) \:\big]\;\Rightarrow \;<br />\big[\:x=-y\;\text{ et }\;x_{n+1}=y_{n+1}=0\:\big]\,.<br />$

Par conséquence $\: \mathbb{P}^n\:$ est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de $\: \mathbb{S}^n_+\:$ par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que $\: \: \mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\: \:$ et l'équateur n'est rien d'autre que le bord $\: \mathbb{S}^{n-1}\:$ de $\: \mathbb{B}^n\:$ . Par conséquence $\: \: \mathbb{P}^n \,\simeq\: \mathbb{B}^n/\!\sim\:$ .

$\,$
Le résultat précédent implique en particulier que $\:\mathbb{P}^1 \,\simeq\, \mathbb{B}^1/\!\sim\:$ .
Or $\:\mathbb{B}^1$ =[-1,1] et par conséquence $\:\mathbb{B}^1/\!\sim\:$ est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
Ainsi $\:\mathbb{B}^1/\!\sim\:$ est en bijection avec le cercle $\,\mathbb{S}^1\,$ . Nous obtenons $\mathbb{P}^1 \,\simeq\,\mathbb{S}^1$ . Illustration:

D'autre part $SO(2)$ est le groupe des rotations du plan euclidien orienté $\mathbb{R}^2$ . Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans $[0,2\pi[$ il est évident que $SO(2)$ est en bijection avec le cercle $\mathbb{S}^1$ .
Conclusion: $SO(2)\simeq \mathbb{P}^1$ .
$\,$

Pour la suite voir le fichier pdf.

Revisitons la multiplication !

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Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.

Méthode classique du bon élève.

Multiplication posée de deux nombres

Méthode du cancre.

Comment multiplier deux nombres, méthode des paresseux

Mode d'emploi :

Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).

Algorithme pour la multiplication de Karatsuba

Trouver le produit de deux nombres entiers

Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.

Questions

Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
Avec la méthode classique, combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.

Réponses
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.

Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

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Le nom du site
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann!

Le logo du site
illustre la fameuse formule $e^{i\times\pi}+1=0$ qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques:

la relation d’égalité =
l’addition +
la multiplication $\times$
le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
le nombre transcendant $\pi$ (pour calculer l'aire d’un cercle)
le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
le nombre imaginaire i (solution de l’équation $x^2+1=0$ ).

L’auteur du site
est $\text{[math]}$ , qui a étudié les mathématiques à Munich, Nice, Bonn et Paris (directeur de thèse de doctorat: Frédéric Pham, rapporteur: Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury: Pierre Cartier).

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