Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)



Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

• Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
• L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

Ci-dessous les questions avec corrigés pour mes élèves en colles de mathématiques en classe préparatoire MPSI du Lycée Fénelon Sainte-Marie à Paris. Si vous y trouvez des erreurs ou si vous avez des améliorations à proposer n’hésitez pas à me laisser un commentaire !

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

1. Logique. Exponentielle et logarithme
2. Plan complexe. Fonctions hyperboliques et réciproques
3. Equations différentielles linéaires
4. Géométrie élémentaire dans le plan et dans l’espace
5. Courbes planes
6. Coniques
7. Applications. Théorie des ensembles
8. Relations
9. Ensembles. Dénombrements
10. Groupes
11. Groupes, anneaux, corps

Déroulement des colles et conseils pour les élèves en math sup :

• Il est indispensable d’avoir appris son cours.
• Chaque élève prépare pendant une demi-heure son exercice sur feuille. Pendant ce temps je vous guide si votre chemin ne semble pas aboutir.
• Puis vous avez dix minutes pour exposer, devant les autres élèves et moi, votre solution au tableau. N’y recopiez pas l’énoncé, on n’a pas le temps pour ça.
• Expliquez clairement l’idée de la preuve. Souvent il y a un point pivot dans une démonstration.
• Si je vous pose une question, ne répondez pas toute de suite au hasard ou par intuition, mais réfléchissez d’abord! Dans un examen oral personne ne vous demande de donner une réponse immédiatement. En revanche, on exige une réponse fondée. Et si vous n’en avez pas, avouez-le — le pire c’est de laisser à un jury d’examen oral l’impression que vous bluffez ou que vous jouez au loto…
• Quelques exercices sont en anglais ou en allemand. Cette idée d’initiation à l’expression scientifique en une langue étrangère m’est venue lorsqu’une fois un excellent élève en math sup souhaitait apprendre des choses sur les formes différentielles et le théorème de Stokes. Alors je lui ai prêté mon exemplaire de l’excellent livre Mathematical Methods of Classical Mechanics de Vladimir I. Arnol’d. Or il me l’a rendu le lendemain car “lire les maths en anglais serait trop fatiguant”! Or rien n’est plus simple à lire dans une langue étrangère que les maths — il faut seulement s’entrainer un peu… et c’est le but de ces questions. Vous pouvez néanmoins rédiger vos solutions en français.
  
  

Pour nous reveiller commençons la semaine par une petite révision de calcul! Il s'agit d'un cours amusant et pas trop difficile. Il ne faut pas avoir la bosse de maths pour le réussir, juste un peu d'imagination. Tout le monde peut y participer, car on peut le faire avec le programme de mathématiques que nous avons tous appris à l'école. Voici donc ce petit cours de maths agrémenté de quelques exercices:

Leçon et questions: Maths pour les génies (cliquez)

C'est un document powerpoint — après l'avoir ouvert utilisez les flèches de votre clavier pour avancer.

En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

Autres exemples

• calcul de prix
• calcul de prix
• calcul de prix
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

Je me rappelle qu'une fois, en plein concert à la Philharmonie de Munich, le pianiste Alfred Brendel interrompit son jeu pour adresser les paroles suivantes à un public qui toussait trop : "Die Grundlage der Musik ist die Stille." Traduction : la base de la musique c'est le silence.

J'aimerais adapter cette phrase aux mathématiques : "La base des mathématiques c'est le calcul". Et je pense au calcul le plus simple tel qu'il devrait être maîtrisé par tous les citoyens d'un pays moderne (à l'exception de quelques rares personnes souffrant d'une sorte de dyslexie des nombres) : addition, soustraction, multiplication et division. Si les élèves ne savent plus calculer, le professeur devrait arrêter son cours, comme Alfred Brendel, et le reprendre plus tard...

Autrefois, grâce à la scolarisation, le savoir progressait d'une génération à l'autre
Dans cet extrait de film de 1951 un représentant essaie en vain de dissuader Ma and Pa Kettle que 25 divisé par 5 donne 14.

Aujourd'hui c'est le récul: beaucoup de bachéliers ne savent plus calculer
Lorsque j'enseignais en deux classes de terminale ES dans un lycée en région parisienne, j'étais confronté à un problème majeur : le programme du baccalauréat porte sur les dérivées et les intégrales, les logarithmes et les exponentielles. Or la majorité de ces élèves en terminale ne connaissait pas les règles élémentaires de calcul, beaucoup confondaient l'addition avec la multiplication et la soustraction avec la division. Voici un florilège extraits de quelques copies de bacs blancs :

              

Tout ça pourrait faire rire si ce n'étaient que quelques cas isolés. Mais ce type d'erreurs n'est plus exceptionnel, il est devenu la règle (voir mes statistiques).

Le roi est nu
Certains diront que tout cela n'a pas d'importance car les mathématiques n'interviennent que peu dans notre vie quotidienne et que d'autres facilités sont plus déterminantes pour bien réussir dans la vie. Peut-être. Je serais le dernier à exiger que tous mes co-citoyens connaissent les logarithmes et les intégrales. Mais ce qui me gêne beaucoup c'est que le calcul élémentaire n'est pas acquis et qu'en même temps on habitue les élèves à utiliser un langage de bois mathématique qui prétend qu'il y a une compréhension des objets impliqués tandis qu'au fond rien n'est compris. Sous un splendide manteau de termes savants (intégrales, limites, théorème des valeurs intermédiaires, etc.), le roi est nu ! C'est presque une deuxième affaire des Impostures intellectuelles à la Sokal-Bricmont. Soit on fait les choses correctement dès le départ, soit on ne les fait pas. Evidemment il est impossible, en dernière année de lycée, de rattraper avec des cours de soutien toutes ces bases manquées.

Ci-dessous un dernier exemple qui me rend heureux et triste à la fois — triste car cet élève ne maîtrise pas du tout le programme du collège (règles de calcul avec les fractions), et heureux car il a appris ce que je lui enseignais en terminale (règles de dérivation). Mais en fin de compte, quelle est la valeur de ses connaissances en calcul différentiel si après il ne sait pas simplifier correctement la fraction ?

La question était de dériver la fonction

Mystères de la psychologie

Posez les deux questions suivantes à un ami.

"Comment demandes-tu l'heure à un sourd?" — Probablement il fera un geste.
"Comment demandes-tu un peigne à un chauve?" — Probablement il fera également un geste... au lieu de demander simplement!

Exemple:

Presque tout le monde tombe dans ce piège. Et très souvent, si plusieurs personnes sont présentes, ce n'est pas la personne à laquelle on a adressé la parole qui répond mais une autre qui se sent moins observée!

Nous mathématiciens sommes les spécialistes de la généralisation. Si nous avons trouvé une méthode pour résoudre un problème particulier nous essayons de l'adapter à des situations similaires ou plus générales. Nous sommes (dé)formés ainsi et ça fonctionne — au prix que ça n'aboutit pas toujours à la méthode la plus élégante.

Les juristes, en revanche, ont l'habitude de considérer chaque cas de manière indépendante. En effet, tout avocat sait que le fait d'avoir gagné un procès aujourd'hui n'implique pas qu'un procès identique sera gagné demain.
Je posais la question du peigne aussi à mes amis juristes et avocats. Sans avoir procédé à une statistique fiable, j'ai l'impression que le pourcentage des piégés est inférieur chez eux que chez les mathématiciens.

Deux autres exemples: